Задача о количестве друзей, которые успели поздороваться друг с другом, используя всего лишь 15 рукопожатий, является увлекательной математической головоломкой, которая требует логического мышления и воображения. Кажется невероятным, чтобы такое количество рукопожатий могло произойти между таким небольшим числом людей.
Однако, чтобы решить эту головоломку, необходимо вспомнить о правиле, что каждое рукопожатие включает в себя двух человек. Когда один человек поздравляет другого, оба участника этого рукопожатия добавляют выполненное действие к общему числу рукопожатий.
Таким образом, чтобы найти количество друзей, важно разделить общее количество рукопожатий (15) пополам, так как каждое рукопожатие включает двух людей. Получается, что между 15 рукопожатиями было 7,5 «пар» людей, но в реальности нельзя иметь половину друга.
Существовало условие о том, что друзья обменялись 15 рукопожатиями
n * (n — 1) / 2 = 15
Решим это уравнение и найдем значение n, чтобы узнать сколько друзей существовало:
- Умножим оба значения внутри скобок: n * (n — 1) = 30
- Распишем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: n^2 — n = 30
- Перенесем все члены уравнения в одну сторону: n^2 — n — 30 = 0
- Разложим левую часть на множители: (n — 6)(n + 5) = 0
Из этого уравнения получаем два возможных значения для n: 6 и -5. Очевидно, что число друзей не может быть отрицательным, поэтому ответом будет n = 6. Значит, существовало 6 друзей, которые обменялись 15 рукопожатиями.
Сколько было друзей?
Для определения количества друзей, которые обменялись 15 рукопожатиями, мы можем использовать алгоритм построения графа дружбы. Граф дружбы представляет собой совокупность вершин (друзей) и ребер (рукопожатий) между ними.
Предположим, что каждый друг может пожать руку каждому другу только один раз. Тогда количество рукопожатий равно половине от произведения количества друзей на количество возможных рукопожатий между парой друзей (то есть, n(n-1)/2, где n — количество друзей).
Подставляя 15 вместо количество рукопожатий в формулу, получим следующее уравнение:
15 = n(n-1)/2
Решив это уравнение, получим:
n(n-1) = 30
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получим:
n^2 — n — 30 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы найдем два возможных значения n: 6 и -5. Так как количество друзей не может быть отрицательным, мы исключаем -5 из возможных вариантов.
Таким образом, количество друзей, которые обменялись 15 рукопожатиями, равно 6.
Выяснение количества друзей по количеству рукопожатий
Если друзья обменялись 15 рукопожатиями, можно выяснить, сколько было друзей, используя простое математическое рассуждение.
Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, поэтому каждое рукопожатие можно рассматривать как связь между двумя друзьями. Таким образом, каждое рукопожатие добавляет к общему количеству друзей двух новых людей.
Представим, что в начале у нас был только один человек. После первого рукопожатия с ним появятся два человека. После второго рукопожатия с этими двумя людьми появятся еще два человека, и так далее.
Таким образом, каждое рукопожатие увеличивает количество друзей на два. После 15 рукопожатий количество друзей должно быть увеличено на 15 * 2 = 30.
Следовательно, если друзья обменялись 15 рукопожатиями, у них должно быть 30 друзей.
Математическое решение задачи
Однако, из этого числа 15N, некоторые рукопожатия повторяются. Нам нужно найти количество уникальных рукопожатий.
Чтобы найти количество уникальных рукопожатий, мы можем использовать формулу для суммы чисел от 1 до N:
Уникальные рукопожатия = количество всех рукопожатий — повторяющиеся рукопожатия
То есть, уникальные рукопожатия = 15N — повторяющиеся рукопожатия.
Чтобы найти количество уникальных рукопожатий, нам нужно вычесть количество повторяющихся рукопожатий из общего количества рукопожатий.
В этой задаче нам дано, что друзья обменялись 15 рукопожатиями. Значит, у нас есть 15N — 15 повторяющихся рукопожатий.
Теперь нам нужно найти количество повторяющихся рукопожатий. Чтобы это сделать, мы можем использовать комбинаторику.
Количество возможных рукопожатий для каждого друга — 15. Но каждое рукопожатие учитывается дважды — раз для каждого друга, пожимающего руку. То есть, каждое рукопожатие будет иметь 2 комбинации.
Повторяющиеся рукопожатия = количество возможных рукопожатий * количество комбинаций для каждого рукопожатия
В этой задаче количество возможных рукопожатий = 15, а количество комбинаций для каждого рукопожатия = 2.
Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу:
Повторяющиеся рукопожатия = 15 * 2 = 30
Теперь мы можем найти количество уникальных рукопожатий:
Уникальные рукопожатия = 15N — 30
Таким образом, чтобы узнать сколько было друзей, мы должны решить уравнение:
15N — 30 = 15
15N = 45
N = 3
То есть, у друзей было 3 человека.
