Математика, как известно, – это наука точных наук. В ее основе лежит разрешение различных математических задач и задачек, в том числе неравенств. Одной из таких задач является определение количества различных чисел, удовлетворяющих данному неравенству. Рассмотрим конкретный пример с неравенством х² — 6х + 27 и попытаемся его решить.
Для начала вспомним основные понятия и правила алгебры, которые понадобятся нам при решении данной задачи. Квадратное уравнение – это уравнение, содержащее степень второй. В нашем случае мы имеем дело с квадратным трехчленом, состоящим из трех слагаемых х², -6х и 27. Для решения этого квадратного уравнения мы будем использовать дискриминант.
Дискриминант – это выражение, определенное по формуле D = b² — 4ac, где a, b и c – это коэффициенты нашего квадратного трехчлена. Вычислим дискриминант для нашего уравнения и проверим, сколько различных чисел может удовлетворять данному неравенству.
Решение и ответ на неравенство х2 + 6х + 27 — сколько различных чисел удовлетворяет?
Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение х2 + 6х + 27 будет положительным или нулевым.
В первую очередь, мы можем заметить, что это квадратное уравнение, и его график будет параболой. Если коэффициент а (в данном случае а = 1) положительный, то вершина параболы будет смотреть вверх.
Таким образом, чтобы найти значения x, при которых выражение положительное или нулевое, мы должны найти значения x, при которых парабола пересекает или лежит выше оси x.
Чтобы найти значения x, мы можем рассмотреть дискриминант уравнения:
D = b2 — 4ac
В данном случае, b = 6, а = 1, c = 27. Подставим их значения:
D = 62 — 4 * 1 * 27
D = 36 — 108
D = -72
Так как дискриминант отрицательный, это означает, что парабола не пересекает ось x и не имеет корней. Следовательно, нет значений x, при которых неравенство будет выполняться.
Таким образом, число различных чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равно нулю.
Разбор квадратного трехчлена:
Чтобы решить такое уравнение, можно использовать формулу дискриминанта: D = b² — 4ac.
Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня: x₁ = (-b + √D) / 2a и x₂ = (-b — √D) / 2a.
Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень: x = -b / 2a.
Если D < 0, то уравнение имеет два мнимых корня.
Нахождение дискриминанта:
Для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 дискриминант вычисляется по формуле:
| Дискриминант (D) | Формула |
|---|---|
| Если D > 0 | D = b² — 4ac |
| Если D = 0 | D = 0 |
| Если D < 0 | D = -4ac |
Значение дискриминанта позволяет определить следующие случаи:
- Если D > 0, то у уравнения два различных корня: x₁ и x₂.
- Если D = 0, то у уравнения один корень: x.
- Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней. Он имеет только комплексные корни.
Зная дискриминант, можно определить количество и характер корней квадратного уравнения и продолжить решение задачи.
Условия для двух различных корней:
Для того, чтобы у неравенства x^2 + 6x + 27 было ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положителен.
Дискриминант для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac.
В данном случае у нас есть a = 1, b = 6 и c = 27. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:
D = (6)^{2} — 4\cdot 1 \cdot 27
D = 36 — 108 = -72
Так как дискриминант отрицательный, то у данного неравенства нет двух различных корней, а значит нет таких чисел, которые удовлетворяют данному неравенству.
Условия для одного корня:
Чтобы уравнение х2 + 6х + 27 = 0 имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю.
Дискриминант вычисляется по формуле D = b2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения.
Для данного уравнения a = 1, b = 6 и c = 27, поэтому
D = 62 — 4 * 1 * 27 = 36 — 108 = -72
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Значит, условия для одного корня не выполняются.
Условия для отсутствия корней:
1. Дискриминант должен быть меньше нуля:
Если дискриминант (D) = b2 — 4ac < 0, то неравенство не имеет решений. Это происходит, когда график параболы, заданной уравнением, не пересекает ось х и находится полностью выше или ниже нее.
2. Коэффициент при квадрате переменной (а) должен быть положительным:
Если а > 0, то неравенство ориентировано вверх и имеет вид «U» — график располагается выше оси х.
3. Оба коэффициента (b и c) должны быть такими, что в области графика параболы, имеющей вид «U», отсутствуют пересечения с осью х:
Если b2 — 4ac > 0, то неравенство имеет корни. Если b2 — 4ac = 0, то неравенство имеет один корень (одна точка пересечения с осью х). Если b2 — 4ac < 0, то неравенство не имеет корней.
Для решения данного неравенства, мы может использовать различные методы, такие как раскрытие скобок, расстановка знаков и решение квадратного уравнения. Однако, мы не будем приводить все вычисления здесь, а просто приведем окончательный ответ.
После всех вычислений и упрощений, мы получаем следующий ответ:
- Неравенство x^2 — 6x + 27 не имеет решений в действительных числах.
Другими словами, данное неравенство не имеет вещественных корней, то есть нет таких значений x, которые удовлетворяют этому неравенству.
Таким образом, в данном случае, мы получаем, что у заданного неравенства нет различных числовых решений.
